三角関数の一般角と弧度法!!求め方を分かりやすく解説!!

今回は、三角関数の基礎である、一般角と弧度法について分かりやすく解説していきます。

まず、覚えてほしい重要な事として、

  • 平面上では点oを中心とし、半直線opを始めの位置として回転させる
  • 回転した半直線を動径と言う

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と決まっています。

この事を頭に入れて、さっそく一般角について見ていきましょう。

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一般角とは

一般角では、角度の範囲が書いていない時があって、その時の角度は全ての範囲と考えていきます。

例えば、図のような60度があった場合
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必ずしも、60度というわけではありません。

一周回ったら60度+360度=420度、2週回ったら60度+360度×2=780度となります。

反対に、反時計回りに回った場合、60度+360度×(-1)=-300度になります。

このように、負の角や360度よりも大きい角まで広げた考えの事を一般角と言います。

なので、360度ごとに考えていけば答えが無数にある事になります。

よって、一般角は最後に\(360度×n\)と書いて表します。

一般角の求め方

まず、分かりやすく解説している動画があったので、こちらを見てください。

では、実際に問題を使って解説していきます。

次の角の動径が表す一般角をα+360度×n(nは整数)の形で表せ
ただし0≦α≦360とする

(1)1190度

1190度は360度が3回転して、さらに110度の角なので、nは3、αが110度となります。

なので、答えは110度+360度×3となります。

また、問題集によってはnを3とは書かず、そのまま110度+360度×nと書く場合があります。

(2)-400度

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-400度は360度が反時計回りに1回転し、さらに-40度の角なので、nは-1、αが-40度となります。

しかし、-40度は問題文の0≦α≦360という条件にあっていません。

なので、-となった場合は始めの位置から時計回りした角がαとなります。
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よって、答えは320度+360度×(-1)となります。

これも同様に、\(320度+360度×n\)と書く場合もあります。

(3)-1370度

-1370度は360度が反時計回りに3回転し、さらに-290度の角なので、nは-3、αが-290度になります。

しかし、これも同様に問題文の0≦α≦360の条件に合っていません。

なので、始めの位置から時計回りした角の70度がαになります。

よって、答えは\(70度+360度×(-3)\)となります。

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弧度法とは

弧度法とは、180度を\(π\)とする方法で単位がラジアンになります。

180度=\(π\)、すなわち1度=\(\frac{π}{180}\)・1ラジアン=\(\frac{180}{π}\)

となります。

これは、半径が1の円の円周は、公式\(2πr\)からrが1なので\(2π\)になります。

180度はその半分なので2で割るとな\(1π\)にります。

なので、180度の弧の長さが\(π\)となり、数学では弧度となります。

また、今まで720度と言われても何周なのかイマイチ分かりずらいですが、

弧度法を使うと\(4π\)になり、\(2π\)で一周になるのですぐに2周だと分かります。

弧度法の求め方

弧度法の求め方も、分かりやすく解説している動画があったので、ぜひ参考にしてください。

練習問題

度で表された角は弧度で、弧度で表された角は度で表せ

(1) 570度

弧度で表すと、公式の1度=\(\frac{π}{180}\)より

\(\frac{570度}{180}=\frac{19}{6}π\)

(2)3

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3はラジアンなので度に表すと、公式\(1ラジアン=\frac{180}{π}\)より

\(\frac{180}{π}×3=\frac{540度}{π}\)

(3)-72度

弧度で表すと公式の\(1度=\frac{π}{180}\)より

\(\frac{72}{180}π=\frac{2}{5}π\)

扇形の公式

最後に半径r、中心角θの扇形は、弧の長さ・面積が次のようになります。

\(弧の長さ=rθ(中心角)、面積=\frac{r^2θ}{2}\)

これらは、公式で当てはめるだけで簡単に解けるので必ず覚えるようにしましょう。

また、最後にテストで間違えやすい問題を1つ紹介します。

半径が6、中心角が\(\frac{3}{2}π\)の周の長さを求めよ

この問題では多くの人が弧の長さの公式rθより。\(6×\frac{3}{2}π=9π\)としてしまいます。

しかし、問題文では弧の長さではなく、周の長さを求めよと書いてあります。

なので、扇形の左右の半径分の長さ6×2=12も足して、答えは12+9πとなります。

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