平均変化率の求め方!?公式を使えば簡単に!!

高校の数学Ⅱでは・・・

次の関数について、平均変化率を求めなさい

(1)\(f(x)=-4x + 3\)  (xが-2から3まで変わるとき)

(2)\(f(x)=x^2 + 4x -1\) (xがaからa+hまで変わるとき)

というような平均変化率を求める問題があります。

今回はこの平均変化率の問題について公式を使って簡単に求める事ができる方法を紹介していきます。

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平均変化率とは

そもそも平均変化率とは、中学3年生で習った「変化の割合」の事を言って、

言い換えれば「グラフの傾き」になります。

なので、平均変化率はyの変化量をxの変化量で割って求める事ができます。

詳しい解き方は動画で分かりやすく説明されているので、こちらの動画を見てください。

公式を使えば簡単に解ける!!

動画のように傾きを考えて解こうとすると、毎回グラフを考えて解かないといけません。

また、x=aからx=a+hまで変化した時のxの値の変化量などのように、

数字ではなく文字になると少し分かりずらくなると思います。

ですので、平均変化率を求める公式・・・

y=f(x)のx=aからx=bまでの平均変化率

$$ {\frac {f(a)-f(b)} {b-a}}$$

を使うと頭で考えずに当はめるだけで簡単に解けるようになります。

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実際に公式を使って問題を解いてみよう!!

(1)f(x)=-4x + 3   (xが-2から3まで変わるとき)

<公式>

y=f(x)のx=aからx=bまでの平均変化率

$$ {\frac {f(a)-f(b)} {b-a}}$$

(1)はa=-2、b=3となり、

f(a)はf(x)=-4x + 3 にx=-2を代入した11

f(b)もf(x)=-4x + 3 にx=3を代入した-9になります。

これらを公式に当てはめると・・・

$$ {\frac {(-9)-11}{3-(-2)}}= {\frac {-20}{5}}$$

となります。

よって、答えは約分して-4となります。

(2)\(f(x)=x^2 +4x -1\) (xがaからa+hまで変わるとき)

同様に(2)も

a=a

b=a+h

\(f(a)=a^2 +4a -1\)

\(f(b)=(a+h)^2 +4(a+h) -1=a^2+2ah+h^2+4a+4h-1\)となり、

これを公式に当てはめると・・・

$$ {\frac{(a^2+2ah+h^2+4a+4h-1)-(a^2 +4a -1)} {a+h-a}}= {\frac {2ah+h^2+4h}{h}}$$

になります。

よって、答えは約分して2a+h+4となります。

最後に

数字ではなく、文字になると少し複雑になってしまう平均変化率ですが、

公式に当てはめれば簡単に解けて、点数を取れる問題になります。

なので、文字が出てきても焦らずに1つずつ丁寧に解いていくようにしましょう。

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