微分係数の定義と解き方!?動画を使って分かりやすく解説!!

数学Ⅱでは・・・

(1)\(f(x)=-x^2+4x+5\)のx=-2における微分係数を求めよ

(2)\(f(x)=2x+3\)について、微分係数\(f^´(a)\)を求めよ

といった微分係数を求める問題があります。

今回はその微分係数を求める問題の解き方と定義を紹介していきます。

微分係数の定義を使えば簡単に解けるようになりますし、

数学Ⅲで習う微分の基礎の部分にもなるので、しっかりと理解するようにしましょう。

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微分係数とは

微分係数とは、曲線のグラフの「一瞬の変化の割合」の事を言います。

そもそも、直線を表すグラフの場合は、どこでも「傾き」は一定ですよね。

でも、曲線を表すグラフの場合は「傾き」は一定ではありません。

そこで、数学では曲線のグラフでx=aの時など一瞬の変化の割合(一瞬の傾き)の事を

x=aにおける微分係数または、接線の傾きと言い、\(f^´(a)\)と表す事にしました。

微分係数の定義

微分係数は曲線における「一瞬の変化の割合」ですが、

それを求める定義が・・・

y=f(x)のx=aにおける微分定数

\[f^´(a)=\lim_{h→0}\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\]

となります。

では、どうしてこれが曲線における「一瞬の変化の割合」になるのか、説明していきます。

まず、曲線のx=aからx=bまでの平均変化率(変化の割合)が\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)で求められます。

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ただ、これはx=aからx=bまでの変化の割合でx=aの時の一瞬にはなっていません。

なので、x=bを限りなくx=aに近づける事によって、x=aの時の一瞬の変化の割合に限りなく近づけます。
rapture_20151211205326
よって、微分係数は・・・

\[f^´(a)=\lim_{b→a}\frac {f(b)-f(a)}{b-a}\]

で求める事ができます。

さらに、bはaよりも値が大きいのでb=a+hとも表せます。

なので、微分係数の定義はb=a+hにして

\[f^´(a)=\lim_{h→0}\frac {f(a+h)-f(a)}{a+h-a}\]

\[=\lim_{h→0}\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\]

となっています。

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微分係数の解き方!!

微分係数の定義は分かったと思いますが、一体どうやって解いていくのか、

実は微分係数を求める問題では、定義に数字を当てはめて計算するだけで簡単に解けます。

※こちらの動画でも分かりやすく説明されているので、ぜひ、参考にしてください。

練習問題

(1)\(f(x)=-x^2+4x+5\)のx=2における微分係数を求めよ

まずは、微分係数の定義にx=2なので、a=2を代入します。

\[f^´(2)=\lim_{h→0}\frac {f(2+h)-f(2)}{h}\]

次にf(2+h)-f(2)を計算します。

f(2+h)は、\(f(x)=-x^2+4x+5\)のxに2+hを代入した

\(-(h+2)^2+4(h+2)+5\)
=\(-h^2-4h-4+4h+8+5\)
=\(-h^2+9\)

f(2)は、\(f(x)=-x^2+4x+5\)のxに2を代入した

\(4+8+5=17\)

となります。

なので、これらの数字をもう1度定義に当てはめると・・・

\[f^´(2)=\lim_{h→0}\frac {-h^2+9-17}{h}\]

となって、次はhを限りなく0に近づけるので、hに0を代入します。

\[=\lim_{h→0}\frac {0-8}{0}\]

\[=\lim_{h→0}-8\]

よって、答えは-8になります。

(2)\(f(x)=2x+3\)について、微分係数\(f^´(a)\)を求めよ

(2)も同様に定義に当てはめて解いていきます。

\[f^´(a)=\lim_{h→0}\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\]

まず、\(f(a+h)-f(a)\)の部分の・・・

f(a+h)は\(f(x)=2x+3\)のxにa+hを代入した

\(2(a+h)+3=2a+2h+3\)となります。

f(a)も\(f(x)=2x+3\)のxにaを代入した

\(2a+3\)となります。

よって、微分係数の定義に当てはめると

\[f^´(a)=\lim_{h→0}\frac {2a+2h+3-(2a+3)}{h}\]

\[=\lim_{h→0}\frac {2h}{h}\]

\[=\lim_{h→0}2\]

となり、答えは2となります。

最後に

微分係数を求める問題は定義を覚えて、当てはめれば簡単に解けるようになります。

しかし、定義を覚えただけでは、どのように当てはめて解けば良いのか分からないと思います。

ですので、たくさんの問題を解いてどのように定義を使うか、練習するようにしましょう。

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