極限値の求め方を徹底解説!!分母が0になる不定形には注意!!

数学Ⅱでは・・・

(1)次の極限値を求めよ
\[\lim_{h→-1}(h^2-2h+3)\]
\[\lim_{x→2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\]

(2)次の等式が成り立つ、定数a,bの値を求めよ

\[\lim_{x→2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=5\]

と言った、極限値を求める問題があります。

今回は、その極限値を代入するだけで求める方法をこの問題を実際に解きながら紹介していきます。

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極限値とは

極限値の「lim」は英語の極限という意味のlimit(リミット)から、取ったものになります。

では、その極限値とはそもそも何を表しているのか、

こちらの動画で分かりやすく説明させているので、ぜひ、みてください。

極限値の求め方

極限値とは、限りなく近づけるという事が分かったと思います。

では、具体的にどうやって求めていくのか、それは・・・

  • 代入する
  • 約分してから代入する(そのまま代入すると分母が0になる場合)

の2パターンになります。

では、実際の問題を使って解き方を解説していきます。

(1)次の極限値を求めよ

\[(1)\lim_{h→-1}(h^2-2h+3)\]

この問題では「代入する」というパターンを使って解いていきます。

問題文はhを限りなく-1に近づけるという意味なので、h=-1を代入します。

そうすると、\(1+2+3=6\)となって、

答えは6になります。

\[(2)\lim_{x→2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\]

この問題も同様にxを限りなく2に近づけるため、x=2を代入すると

\[\lim_{x→2}\frac{4-10+6}{2-2}\]

\[\lim_{x→2}\frac{0}{0}\]

となって、分母が0になりました。

このように分母が0に近づく形を「不定形」と言って、先に分母・分子の約分が必要になります。

ですので、この問題だと・・・

\[\lim_{x→2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\]

\[=\lim_{x→2}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}\]

x-2で約分して

\[=\lim_{x→2}(x-3)\]

最後にx=2を代入すると・・・

2-3=-1となり、答えは-1となります。

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(2)次の等式が成り立つ、定数a,bの値を求めよ

\[\lim_{x→2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=5\]

もう1つ極限値の定番と言えば、このような定数a.bを求める問題となります。

まずは、同様にxを限りなく2に近づけるため、x=2を代入すると分母は0になります。

数学では、分母が0になった場合は分子も0にならないといけません。

なので、分子が0となるような定数a,bを考えていきます。

したがって分子は、\[{x^2+ax+b}=0\]

x=2なので、

\[{4+2a+b}=0\]

\[b=-2a-4\]

これでbをaを使って表せたので、元の式にb=-2a-4を当てはめるとaが求められます。

\[\lim_{x→2}\frac{x^2+ax+-2a-4}{x-2}=5\]

aでまとめて・・・

\[\lim_{x→2}\frac{x^2-4+a(x-2)}{x-2}=5\]

\[\lim_{x→2}\frac{(x+2)(x-2)+a(x-2)}{x-2}=5\]

(x-2)でまとめて・・・

\[\lim_{x→2}\frac{(x-2)(x+a+2)}{x-2}=5\]

(x-2)で約分すると・・・

\[\lim_{x→2}(x+a+2)=5\]

最後にx=2を代入すると・・・

\[2+a+2=5\]

よって、答えはa=1となり、b=-2a-4からb=-6となります。

最後に

極限値を求める問題は代入と約分だけになります。

定数a,bを求める問題は手順が多く、少し大変ですが、

代入するだけで解けるので、たくさんの問題を解いて解き方を覚えるようにしましょう。

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