導関数の公式を使った求め方!?微分係数との違いとは!!

数学Ⅱでは・・・

次の関数の導関数を求めよ(微分せよ),またx=-1における微分係数を求めよ。

(1)\(y=x^2-3x+4\)
(2)\(y=(x+3)^2\)

と言った、導関数を使う問題があります。

今回はその導関数の求め方を紹介していきます。

また、微分係数とは何が違うのか分かりずらいと思うので、まずは導関数とは何か解説していきます。

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導関数とは

導関数とは、微分係数を簡単に求めるための式になります。

(ちなみに、数学では導関数を求める事を「微分する」と言います。)

今までは、微分係数を求める時には・・・

\[f^´(a)=\lim_{h→0}\frac {f(a+h)-f(a)}{h}\]

の定義に毎回数字を当てはめて微分係数を求めていたと思います。

しかし、これは非常に手間もかかり、面倒だったと思います。

ここで導関数を使えば簡単に微分係数を求める事ができます。

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例えば、

関数\(f(x)=x^2-5x\)におけるx=2のときの微分係数を求めよ。

のような問題があったと思います。

もし、導関数を知らなかった場合は微分係数の定義に当てはめて解いていきます。

まずは、a=2を代入して

\[f^´(2)=\lim_{h→0}\frac {f(2+h)-f(2)}{h}\]

f(2+h)は\(f(x)=x^2-5x\)に(2+h)を代入した\((2+h)^2-5(2+h)\)

f(2)は\(f(x)=x^2-5x\)に(2)を代入した\(2^2-5×2=4-10\)

よって、\[f^´(2)=\lim_{h→0}\frac {(2+h)^2-5(2+h)-(4-10)}{h}\]

さらにこれを計算して・・・

このように微分係数の定義に当てはめていくと時間がかかり、大変です。

しかし、導関数の求め方を知っていた場合

\(f(x)=x^2-5x\)の導関数はある公式を使って\(f(x)=2x-5\)と簡単に求められます。

この問題の場合はx=2のときの微分係数なので、求めた導関数にx=2を代入して4-5=-1となり、

微分係数は-1と簡単に求められます。

なので、まとめると導関数は微分係数を簡単に導くための関数となります。

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導関数の求め方

導関数は微分係数を簡単に求めるための式と分かったと思いますが、

その導関数は公式を使って簡単に求める事ができます。

(簡単なので、必ず覚えるようにしましょう。)

微分の公式

  1. \(y=x^n\)のとき\(y^´=nx^{n-1}\)
  2. \(y=\)定数のとき\(y^´=0\)
  3. \(y=(ax+b)^n\)のとき\(y^´=n(ax+b)^{n-1}×a\)

公式を見ただけではイマイチ分からないと思いますが、一緒に練習問題を解いて理解していきましょう。

練習問題

(1)\(y=x^2-3x+4\)を微分せよ。またx=-1における微分係数を求めよ。

このようにたくさんの項がある場合、項を1つずつに分けて\(y=|x^2||-3x||+4|\)で考えていきます。

まず、\(x^2\)は➀の公式を使って・・・

指数の2をそのまま前に出して次数を1つ下げるので、\(2x^1\)となり2xとなります。

2つ目の項である-3xは変換すると\(-3x^1\)なので、同様に➀の公式を使って・・・

指数の1をそのまま前に出して次数を下げるので、\(-3×1x^0\)となり-3となります。

3つ目の項である+4などのように数字だけで文字が付いていないのは➁の公式を使って・・・

になります。

よって、答えは\(y=2x-3+0=2x-3\)となります。

また、x=-1のときの微分係数は\(y=2x-3\)にx=-1を代入するだけで求められます。

なので、微分係数は-2-3=-5となります。

(2)\(y=(x+3)^2\)を微分せよ。またx=-1における微分係数を求めよ。

この問題は➂の公式を使って解いていきます。

a=1で指数の2をそのまま前に出して次数を1つ下げるので、

答えは\(2(x+3)^1=2x+6\)となります。

また、微分係数は(1)と同様にx=-1を代入してになります。

導関数の定義を使った求め方

今まで公式を使った簡単な求め方を紹介してきましたが、実は導関数にも定義があります。

導関数の定義

\[f^´(x)=\lim_{h→0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}\]

これも、微分係数の定義と同様に数字を当てはめていけば導関数を求めることができます。

ただ、時間も手間もかかるので公式を使ったほうが早く簡単に解けます。

なので、ほとんどの人は定義を忘れて公式だけを覚えます。

しかし、稀に「導関数の定義に従って解け」という問題が出ます。

なので、こちらの定義を使った導関数の求め方を解説している動画を、1度確認するようにしてください。

最後に

導関数は微分の元祖と言われていて、微分係数を簡単に求める事ができる式になります。

公式さえ覚えれば簡単に解けるので、必ず覚えるようにしましょう。

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