接線の方程式の求め方!?公式を使った方法はコレ!!

数学Ⅱの接線の方程式は・・・

(1)\(y=-x^2+5x+2\)のx=3における接線の方程式を求めよ。
(接点が分かっている問題)

(2)次の曲線へ点Aから引いた接線の方程式を求めよ。
(接点が分かっていない問題)

\(y=x^2-3\)  A(1,-6)

のように、接点が分かっている場合分かっていない場合の2種類があります。

今回はこの2種類の「接線の方程式の求め方」について分かりやすく解説していきます。

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接線の方程式の公式

接線の方程式を求める問題は、公式に数字を当てはめて解いていきます。

その接線の方程式の公式は・・・

接線の傾きがm、(a.b)を通る直線

\[y-b=m(x-a)\]

となっています。

ちなみに、接線の傾きとは「微分係数」の事を言います。

なので、接線の傾き=微分係数と覚えるようにしてください。

接点が分かる場合の求め方

では、どうやってこの公式を使うのか問題を使って具体的に見ていきましょう。

まずは、接点が分かっているパターンの問題です。

(1)\(y=-x^2+5x+2\)のx=3における接線の方程式を求めよ。
(接点が分かっている問題)

x=3から接点のx座標は分っているので、yは\(-x^2+5x+2\)に3を代入して8になります。

よって、接点(3.8)を通る直線になりa=3,b=8を公式に当てはめて・・・

\[y-b=m(x-a)\]

\[y-8=m(x-3)\]

となります。

mは接線の傾き=微分係数なので、x=3における微分係数は

\[y=-x^2+5x+2\]

\[y^´=-2x+5\]

x=3を代入して、

接線の傾きは-2×3+5=-1となります。

なので、m=-1を公式に当てはめて・・・

\[y-8=m(x-3)\]

\[y-8=-1(x-3)\]

\[y-8=-x+3\]

\[y=-x+11\]

よって、接線の方程式は\(y=-x+11\)となります。

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接点が分からない場合の求め方

(2)次の曲線へ点Aから引いた接線の方程式を求めよ。

\(y=x^2-3\)   A(1,-6)

次はこのような接点が分からない場合の求め方になります。

この場合はまず、自分で接点のx座標をaとおきます。

なので、この問題の接点は\((a,a^2-3)\)となります。

これらを接線の方程式の公式に当てはめると・・・

\[y-b=m(x-a)\]

\[y-(a^2-3)=m(x-a)\]

微分係数のmは、\(y^´=2x\)にx=aを代入した2aになります。

\[y-(a^2-3)=2a(x-a)\]

\[y-a^2+3=2ax-2a^2\]

\[y=2ax-a^2-3\]

これが点A(1,-6)を通るのでx=1,y=-6となります。

\[-6=2a-a^2-3\]

\[-a^2+2a+3=0\]

\[a^2-2a-3=0\]

\[(a+1)(a-3)=0\]

\[a=-1,3\]

最後にこれらを\(y=2ax-a^2-3\)に代入して・・・

a=-1のとき、\(y=2x-4\)
a=3のとき、\(y=6x-12\)

となり、答えはy=-2x-4y=6x-12の2つとなります。

※こちらの動画でも接線の方程式の求め方を解説しているので、参考にしてください。

最後に

実際に解いてみると接点が分かっている問題は難しくなかったと思います。

しかし、接点が分からない問題は複雑で理解をするのも大変だったと思います。

ですので、多くの問題を解いて手順や解き方をしっかりと理解するようにしましょう。

また、公式の\(y-b=m(x-a)\)接線の傾き=微分係数という事はとても大切なので、必ず覚えるようにしてください。

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