微分の増減表の書き方!?誰でも簡単に書ける方法を紹介!!

数学Ⅱでは・・・

次の関数の増減を求めよ。

\(f(x)=-x^3+3x+2\)

のような増減表を書いて答えを求める問題があります。

また、増減表はグラフを書く問題でも使うのでしっかりと理解しておく必要があります。

ですので、今回は誰でも簡単に増減表が書けるようになる方法を紹介していきます。

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増減表とは

そもそも、増減表とはグラフのyが増えたのか、減ったのかを表す「表」になります。

ただ、これだけでは増減表とは何なのか、まだ分かりずらいと思います。

なので、こちらの動画で分かりやすく説明されているので、ぜひ、参考にしてください。

誰でも簡単にできる増減表の書き方

動画を見て増減表とは何か、さらに表の書き方まで分かった思います。

でも、今回は動画で紹介されていた「表の書き方」とは少し違った書き方を紹介していきます。

私はこちらのほうが簡単に表が書けるので、1度この方法でも書いてみて自分に合った方法を選ぶようにしてください。

次の関数の増減を求めよ。

\((1)f(x)=x^3+4x-3\)

1,微分して、因数分解する。

まず初めに、\(f(x)=-x^3+3x+2\)を微分します。

\[f^´(x)=-3x^2+3\]

次に、\(f^´(x)=-3x^2+3\)を因数分解(くくる)します。

\[f^´(x)=-3x^2+3\]

\[=-3x(x^2-1)\]

\[=3x(x+1)(x-1)\]

2,\(f^´(x)\)が0になる値を求める

因数分解したら\(f^´(x)\)が0になる値、つまり、傾きが0となるグラフの境目となる点を求めます。

\[f^´(x)=3x(x+1)(x-1)\]

\[0=3x(x+1)(x-1)\]

\[x=-1,+1\]

3,\(f^´(x)\)が0になる値を左から小さい順に書く

\(f^´(x)\)が0になる値、今回だとx=-1.+1を左から小さい順に下のように表に書いていきます。

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また、-1,+1は\(f^´(x)\)が0になる値として求めたので、\(f^´(x)\)は0、0となります。

rapture_20151219150217

次に\(f(x)\)の値は問題文の\(f(x)=-x^3+3x+2\)にx=-1,+1を代入した値になります。

なので・・・

x=-1のとき\(1-3+2=0\)

x=1のとき\(-1+3+2=4\)

となります。

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4,\(f^´(x)\)の式にxの値を代入し、+,-を求める

次は表の\(f^´(x)\)の部分を求めていきます。

\(f^´(x)\)の部分は、先ほど微分して求めた\(f^´(x)=-3x^2+3\)に仮定したxの値を代入して+、-か求めます。

まずは、左の赤く塗った部分の+,-を求めます。

rapture_20151219151844

赤い部分のxは-1より小さいという意味なので、仮にx=-2だったとします。

そして、\(f^´(x)=-3x^2+3\)にx=-2を代入すると\[-12+3=-9\]となります。

代入した結果が負の数字だったので、と表に書きます。

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同様に、真ん中はxが-1から1までの数字なので、仮に0とすると・・・

\[-3x^2+3=0+3=3\]となり、正の数字なので+と書きます。

一番右はxが1より大きいので、仮に3とすると・・・

\[-3x^2+3=-27+3=-24\]となり、負の数字なのでと書きます。

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5,\(f^´(x)\)が-の場合は下矢印、+の場合は上矢印を書く

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最後の、\(f(x)\)の部分は\(f^´(x)\)が-の場合は下矢印、+の場合は上矢印を書くだけとなります。

これは、\(f^´(x)\)が傾きを表しているため、

傾きが負の場合はyが減少し、傾きが正の場合はyが増加するので、このような表となります。

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最後に

増減表の書き方は・・・

  • 微分して、因数分解する。
  • \(f^´(x)\)が0になる値を左から小さい順に書く
  • \(f^´(x)\)の式にxの値を代入し、+,-を求める
  • \(f^´(x)\)が-の場合は下矢印、+の場合は上矢印を書く

の4ステップになります。

増減表を使った問題は中間テストやセンター試験でも多く出るので、必ず覚えるようにしましょう。

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