微分の極大値と極小値!!極値の求め方をイチから解説!!

数学Ⅱでは・・・

次の関数の極値を求めよ。

\(f(x)=-x^3+3x^2-3\)

のような極値を求める問題があります。

このような問題は増減表を書くことで簡単に求めることができます。

ですので、今回はこの極値を求める問題をイチから丁寧に分かりやすく説明していきます。

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極小値と極大値(極値)とは

まず、グラフがある境目で増加から減少に変わる事を「極大」になると言って、

このときの境目のことを極大値と言います。

rapture_20151220210023

反対に、グラフがある境目で減少から増加に変わる事を「極小」になると言って、

このときの境目のことを極小値と言います。

rapture_20151220210853

また、極大値と極小値のことを「極値」とも言います。

なので、極値を求める問題では極大値と極小値の2つを求めていきます。

極値の求め方

では、どうやって極大値と極小値を求めるのか、

その方法はこの動画でとても分かりやすく解説しているので、こちらを見てください。

動画の中では、➀増減表を書く、➁グラフを書く、➂極値を求めると言った順番になっていたと思います。

ただ、テストの事を考えて時間短縮すると・・・

極値を求めるには「増減表を書くだけ」で分かります。

もう1度復習すると、極大値とは増加から減少する境目ですよね。

なので、下の増減表だと\(f^´(x)\)が+(増加)から-(減少)に変わっている境目がx=1

極大値が\(f(x)\)の4となります。

よって、x=1のとき 最大値4となります。

x
・・・
-1
・・・
1
・・・
f'(x)
0
+
0
f(x)
0
4

なので、極値の問題では増減表を書くだけで求める事ができます。

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練習問題

次の関数の極値を求めよ。

\(f(x)=-x^3+3x^2-3\)

\[f^´(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)\]

\(f^´(x)=0\)のとき、x=0,2

よって、\(f(x)=-x^3+3x^2-3\)にx=0,2を代入・・・

\[f(0)=0+0-3=-3\]

\[f(2)=–8+12-3=1\]

x
・・・
0
・・・
2
・・・
f'(x)
0
0
f(x)
-3
1

xが0より小さい左の表の部分を、仮にx=-1とすると\(f^´(x)\)は・・・

\[f^´(x)=-3x(x-2)\]

\[f^´(-1)=3(-3)=-9(負の数字)=-\]

\(f^´(x)\)は減少していくので、\(f(x)\)も下矢印となります。

x
・・・
0
・・・
2
・・・
f'(x)
0
0
f(x)
-3
1

同様にxがoより大きくて2より小さいとき、仮にx=1とすると

\[f^´(x)=-3x(x-2)\]

\[f^´(1)=-3(-1)=3(正の数字)=+\]

\(f^´(x)\)は増加していくので、\(f(x)\)も上矢印になります。

xが2より大きいとき、仮にx=3とすると

\[f^´(x)=-3x(x-2)\]

\[f^´(3)=-9(1)=-9(負の数字)=-\]

\(f^´(x)\)は減少していくので、\(f(x)\)も下矢印となります。

x
・・・
0
・・・
2
・・・
f'(x)
0
+
0
f(x)
-3
1

+から-になっている、すなわち、グラフが増加から減少(極大)している境目がx=2

このときの、\(f^´(x)\)は

-から+になっている、すなわち、グラフが減少から増加(極小)している境目がx=0

このときの、\(f^´(x)\)は-3

よって、答えはx=2のとき 最大値1、x=0のとき 最小値-3

最後に

極値は増減表を書く事で簡単に求めることができます。

なので、テストの問題文に「極値を求めよ」と書いてあったら、まずは増減表を書くようにしてください。

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