3次関数のグラフの書き方!?3ステップで分かりやすく解説!!

数学Ⅱでは・・・

次の関数のグラフを書け。

\(y=x^3-6x^2\)

\(y=2x^3+12x^2+29x-4\)

といった3次関数のグラフを書く問題があります。

この3次関数のグラフは増減表を書くことによって簡単に求められます。

なので、今回はその書き方について解説していきます。

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3次関数のグラフの書き方

3次関数のグラフの書き方は・・・

  • 増減表を書く
  • 増減表で数字になっている点を書く
  • 増減表の矢印の通りにグラフを書く

の3ステップになります。

練習問題

\(y=x^3-6x^2\)

まずは、増減表を作っていきます。

増減表を作る

93f8d4be4599bbd74e527057e234399d_s
\[y^´=3x^2-12x\]

\(y^´=0\)となるのは、

\[y^´=3x(x-4)\]

\[x=0,4\]

x
・・・
0
・・・
4
・・・
y’
0
0
y

\(y=x^3-6x^2\)にx=0,4を代入すると・・・

\[x=0のとき、y=0\]

\[x=4のとき、4^3-6×16=64-96=-32\]

x
・・・
0
・・・
4
・・・
y’
0
0
y
0
-32

xが0より小さいとき、仮にx=-1とすると・・・

\[y^´=3x(x-4)=-3(-5)=15=正\]

正の場合は上矢印

x
・・・
0
・・・
4
・・・
y’
+
0
0
y
0
-32

xが0より大きくて4より小さいとき、仮にx=2とすると・・・

\[y^´=3x(x-4)=6(-2)=-12=負\]

負の場合は下矢印

x
・・・
0
・・・
4
・・・
y’
+
0
0
y
0
-32

xが4より大きいとき、仮にx=6とすると・・・

\[y^´=3x(x-4)=18(2)=36=正\]

同様に正の場合は上矢印

x
・・・
0
・・・
4
・・・
y’
+
0
0
+
y
0
-32

よって、増減表はこのようになります。

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数字になっている点を書く

次に増減表で数字になっている点を書きます。

今回の問題だとx=0のとき、y=0,x=4のとき、y=-32となります。

rapture_20151224005242

増減表の矢印の通りにグラフを書く

最後に増減表の矢印に従ってグラフを完成させていきます。

今回の問題だと増減表は上矢印・下矢印・上矢印なので、

x=0のときまで上がっていて、x=4のときまで下がっていて、そこから上がっていくグラフになります。

rapture_20151224012246

ずっと増加し続ける3次関数

3次関数のグラフを書くには、増減表を書くことがポイントになります。

ただ、下のような問題は例外として増減表が書けない問題になります。

\(y=2x^3+12x^2+29x-4\)

 
\[y^´=6x^2+24x+29\]

先ほどの手順に従って、まずは微分して因数分解しようとしてもできません。

なので、1年生のときに学んだ平方完成を使います。

\[y^´=6x^2+24x+29\]
\[=6(x^2+4x)+29\]
\[=6{(x+2)^2-24}+29\]
\[=6(x+2)^2+5\]

xが-1などの負の数字でも2乗されるので正となって、この問題は常にyは増加していきます。

なので、減ったり、増えるという変化はないので増減表は書けません。

よって、グラフはx=1のとき、y=59など座標をいくつか求めて点を書いてグラフを書きます。

最後に

例外もありますが、基本的に3次関数を書くには増減表が大切になります。

ですので、手順もしっかりと理解し増減表を完璧に書けるようにしましょう。

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