極値から3次関数を求める方法!!分かりやすく徹底解説!!

極小値、極大値の意味を知っていないと解けないので、知らない方はこちらの記事を先に見るようにしてください。

微分の極大値と極小値!!極値の求め方をイチから解説!!

今回は定期テストなどでよく出る・・・

関数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\)がx=-3で極大値、X=1で極小値をとるとき、定数a,bの値を求めよ。

また、そのときの極値を求めよ。

といった極値(極大値、極小値)から3次関数を求める問題を解説していきます。

最初は難しいイメージだと思いますが、理解すれば簡単に解けるようになります。

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簡単な解き方

まず、このような極値から3次関数を求める問題では・・・

  • 微分する
  • \(f(x)\),\(f^´(x)\)に代入する

の2つの手順になります。

基本的な問題の解き方の考えはこちらの動画を見てください。

では、実際に問題を解いていきます。

定数a,bを求める

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関数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\)がx=-3で極大値、x=1で極小値をとるとき、定数a,bの値を求めよ。

また、そのときの極値を求めよ。

 

まず、手順通りに\(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\)を微分します。

\[f^´(x)=3x^2+2ax+b\]

次に問題文では・・・

x=-3で極大値
x=1で極小値

となっています。

これを増減表にすると・・・

rapture_20151228001153

となります。

ですので、\(f^´(-3)=0\),\(f^´(1)=0\)となります。

これを言い換えると

\(f^´(x)=3x^2+2ax+b\)のX=-3を代入したとき0になる
\[27-6a+b=0\]

\(f^´(x)=3x^2+2ax+b\)のX=1を代入したとき0になる
\[3+2a+b=0\]

この2つの式を連立方程式で解いて、定数a,bを求めます。

\[-6a+b=-27\]
\[2a+b=-3\]

下の式で引くと・・・

\[-6a+b=-27\]
\[-2a-b=+3\]
\[-8a=-24\]

\[a=3\]

\(2a+b=-3\)にa=3を代入して、

\[6+b=-3\]
\[b=-9\]

よって、a=3,b=-9となります。

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極値を求める

次に問題文の最後にあった極値(極大値、極小値)を求めていきます。

関数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\)がx=-3で極大値、x=1で極小値をとるとき、定数a,bの値を求めよ。

また、そのときの極値を求めよ。

そもそも極値とは、増減表の赤く塗った部分の値になります。

rapture_20151228163718

簡単に言うとx=-3で極大値、すなわち、グラフでx=3のときのf(x)の値が極大値

x=1で極小値,すなわち、グラフでx=1のときのf(x)の値が極小値

よって、極大値は\(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\) (a=3,b=-9)にx=3を代入した値

\[f(x)=x^3+3x^2-9x+2\]

\[f(3)=27+27-27+2=29\]

極小値は\(f(x)=x^3+ax^2+bx+2\) (a=3,b=-9)にx=1を代入した値

\[f(1)=1+3-9+2=-3\]

なので、答えは極大値29、極小値-3になります。

最後に

このような問題は微分して、代入して3次関数を求めていきます。

また、x=1のとき極大値と書いてあったら、\(f^´(1)\)=0になる、という事が大切なので、

必ず覚えるようにしましょう。

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